Пенный минимум Решение "самой обсуждаемой математической задачи" реализовали на практике

Некоторое время назад появилась новость о том, что ученым из Тринити-колледжа в Дублине впервые удалось на практике получить так называемую пену Уэйра-Фелана. Фактически был сделан еще один, пусть и сравнительно небольшой, шаг на пути решения задачи, поставленной легендарным лордом Кельвином более ста лет назад. "Лента.ру" воспользовалась поводом, чтобы вспомнить "самую обсуждаемую математическую проблему века" (ну, по крайней мере, так считают люди, занимающиеся этой задачей).

Задачи Дидоны и Кельвина

Классическим вопросом вариационного исчисления является задача Дидоны. Своим названием она обязана одноименной героине "Энеиды" Вергилия, которая, по преданию, была основательницей Карфагена. Бежав из Тира, где властвовал ее кровожадный брат, в Ливию, она заключила с местным царем Иарбантом договор, согласно которому (понятное дело, за некоторую сумму денег) она получала земли столько, сколько может охватить воловья шкура. Царь подумал, что заключил очень выгодную сделку, однако, мудрая Дидона, разрезав шкуру на ремешки, охватила ею целую гору. Там она основала крепость, из которой позже и вырос Карфаген.

Следуя духу этой легенды, задача Дидоны формулируется следующим образом: найти фигуру с максимальной площадью при фиксированном периметре (в случае с царицей длина периметра равнялась длине веревки, связанной из воловьих ремешков). Оказывается, ответ на этот вопрос интуитивно понятен - максимальной площадью среди всех таких фигур обладает круг. Более того, этот результат остается верным и в n-мерном пространстве (с тем условием, что площадь заменяется на n-мерный объем области, а периметр - на площадь n-1-мерной замкнутой поверхности, ограничивающей данную область).

Задачу Дидоны можно переформулировать эквивалентным образом, который и понадобится нам в дальнейшем (сделаем мы это только для трехмерного пространства): среди всех фигур данного объема минимальной площадью поверхности обладает шар. Действительно, это легко понять - возьмем отношение объема области к площади ее границы в степени 3/2. Так как при фиксированной площади максимальный объем достигается для сферы, то это отношение заведомо не превосходит аналогичного отношения для сферы.

Чтобы получить его, подставим в дробь объем сферы и площадь соответственно (степень 3/2 позволяет нам избавиться от радиуса в отношении, получив конкретное число, выражающееся через число "пи"). Из этого неравенства, носящего название изопериметрического, выходит, что в первом случае мы максимизируем числитель при фиксированном знаменателе, а во втором - минимизируем знаменатель при фиксированном числителе. В обоих случаях результат одинаковый. В частности, именно из-за этого капля воды в невесомости приобретает сферическую форму - минимизация площади поверхности разделения сред ведет к минимизации потенциальной энергии этой поверхности. Так что один-единственный мыльный пузырь, взятый в отдельности, будет иметь сферическую форму.

В 1887 году Уильям Томсон, известный также как лорд Кельвин, предложил на рассмотрение научного сообщества интересную, по его мнению задачу - представим, что наше пространство заполнено фигурами одинакового (например, единичного) объема без пробелов. Какую форму будут иметь эти самые фигуры, если потребовать, чтобы площадь поверхности каждой фигуры была минимальной? Эта задача и получила название задачи Кельвина (как видим, она по сути представляет собой задачу Дидоны в дополнительных условиях).

В этой же работе Кельвин предложил решение своей задачи. Он утверждал, что оптимальное с точки зрения минимизации площади разбиение дают одинаковые тетрадекаэдры (14-гранники), получающиеся отрезанием у октаэдра углов. У этой фигуры, как следует из построения, 14 граней - 8 шестиугольных и 6 четырехугольных.

У разбиения Кельвина есть простая геометрическая интерпретация - рассмотрим точки, расположенные в узлах кубической пространственной решетки (подробнее о решетках и кубической решетке, в частности, можно почитать здесь). Для каждой такой точки можно определить так называемую ячейку Вороного данной вершины - множество точек пространства, расположенных к этой вершине ближе, чем к остальным точкам решетки.

Ячейка формируется так - вершина входит в восемь ячеек, что дает нам в общей сложности 24 соседние точки. Легко понять, что на формирование ячейки Вороного влияют только шесть, с которыми данная точка соединена ребрами непосредственно и восемь - с которыми она соединена диагоналями каждой из кубических ячеек, куда она входит. Чтобы получить искомую фигуру, необходимо через середину каждого из перечисленных 14 отрезков провести перпендикулярную ему плоскость. 8 "диагональных" вершин дадут октаэдр, а шесть "прямых" обрежут его по углам - в результате получится тетрадекаэдр искомого типа.

Структура Уэйра-Фелана

Вернемся, однако, к самой задаче Кельвина. Как показали дальнейшие исследования, она оказалась невероятно сложной. Дело в том, что в своей работе Кельвин руководствовался правилами Плато, согласно которым три поверхности могут сходиться под углом только 120 градусов, а разграничивающие кривые обязаны встречаться только по четыре и только под углом примерно 109 градусов 28 минут (это углы, под которыми в правильном тетраэдре расходятся отрезки, соединяющие его центр с вершинами).

Эти правила были получены бельгийцем Жозефом Плато, который показал, что только при соблюдении таких правил система получается устойчивой с точки зрения физики. У Кельвина разбиение правилам Плато не удовлетворяет, однако, он показал, что, немного искривив стенки тетрадекаэдров, можно добиться нужного результата.

Несмотря на то, что минимальность разбиения Кельвина не была доказана, до 90-х годов прошлого века (то есть более 100 лет!) контрпримера к результату лорда предъявлено не было. Только в 1993 году в журнале Philosophical Magazine Letters вышла статья математиков Дэниса Уэйра и Роберта Фелана, которые предложили разбиение с меньшей площадью, чем у разбиения Кельвина.

В отличие от классической версии, предложенная ими структура состоит из двух типов ячеек - деформированного додекаэдра (многогранник, у которого все грани - пятиугольники, а в каждой вершине сходится по три ребра) и тетрадекаэдр, у которого две шестиугольные грани, а остальные - пятиугольные. При этом, как и в предыдущем случае, в каждой вершине сходится по три ребра.

В качестве характеристики разбиения (это следует из эквивалентности двух формулировок задач Дидоны) вполне можно применять отношение объема ячейки к объему шара с такой же площадью поверхности. Для разбиения Кельвина этот показатель составляет 0,757, в то время как для структуры Уэйра-Фелана он равен 0,765. Стоит отметить. что исходное разбиение на многогранники ученым тоже пришлось немного подправить, искривив грани и ребра.

Практическое приложение к пене

На самом деле разбиение Уэйра-Фелана было известно на практике задолго до того, как математики догадались применить его к задаче Кельвина. В частности, химикам оно было известно как структура клатратов типа I. В природе они встречаются в гидратах метана, пропана или углекислого газа - соединениях с водой, образующихся при высоком давлении и низкой температуре (такие гидраты встречаются в большом количестве, например, на дне океанов). В этих соединениях молекулы воды располагаются в вершинах (неискривленных) ячеек Уэйра-Фелана, а молекулы газа заключены внутрь ячейки, как в клетку. Также подобные структуры встречаются в сплавах и минерале меланофлогит.

Вместе с тем, несмотря на огромное количество примеров, получить пену со структурой Уэйра-Фелана ученым не удавалось - начало эти неудачам положили сами авторы, которые пытались получить нужную структуру с помощью обычного мыла.

Исправить это упущение удалось только исследователям из Тринити-колледжа в Дублине. В Philosophical Magazine Letters к печати была принята их статья, в которой они показали, что формирования нужной пены можно добиться, правильно выбирая форму сосуда, в котором эта пена образуется. Оказывается, в прежних работах ученые брали круглые сосуды, а наличие стенок сказывается на структуре пены довольно сложным образом. В частности ученым удалось получить примерно 1,5 тысячи пузырей, которые в шести слоях организовались в структуру Уэйра-Фелана.

Надо сказать, что это открытие было сделано той же группой исследователей, которая в 2009 году предложила алгоритм "промышленного" получения нужных разбиений трехмерного пространства. Главной особенностью этой схемы является тот факт, что она была получена после анализа трехмерного уравнения Свифта–Хоенберга, двумерная версия которого раньше применялась для анализа и получения периодических структур на плоскости.

Вместо заключения

Таково теоретическое и практическое состояние вопроса на данный момент. В частности, минимальность структуры Уэйра-Фелана в смысле площади поверхности ячеек не доказана, да и, по мнению многих исследователей, она и не является решением задачи Кельвина. Впрочем, есть вероятность, что работа ведется в правильном направлении - на настоящий момент доказано, что в минимальном разбиении (с точки зрения многогранников) среднее количество граней у ячейки должно составлять 13,4 штуки, а наиболее часто встречающаяся на практике ячейка имеет 13 граней - четырехугольник, 10 пятиугольников и 2 шестиугольника.