Группа ученых из МГУ совместно с иностранными математиками заложили основы нийенхейсовой геометрии. Исследование опубликовано в репозитории arXiv.org, и на данный момент идет подготовка к публикации в научных журналах.
«В своих работах мы обратились к геометрии, где информация о структуре также содержится в матрице. Традиционно матрицами в математике записывают три разных объекта — билинейная форма, 2-вектор и оператор. Матрицами их записывают потому, что эти объекты называются тензорами и правильно преобразуются при замене координат. В псевдоримановой геометрии фигурируют билинейная форма, в пуассоновой — 2-вектор, а в новой геометрии, которая получила название нийенхейсовой, речь про операторы», — пояснил кандидат физико-математических наук, доцент кафедры дифференциальной геометрии мехмата МГУ Андрей Коняев.
Отмечается, что на матрицу в нийенхейсовой геометрии наложены некоторые условия, которые были открыты Альбертом Нийенхейсом еще в 1950-х годах и рассматривались учеными как вспомогательный инструмент решения задач. По словам исследователей, то же самое происходило в 1970-х годах, пока несколько математиков не заложили фундамент пуассоновой геометрии.
Объясняя свою работу, ученые проводят сравнения со старой скатертью: через каждую точку матрицы протянуты нити, и в этом смысле теорема о расщеплении говорит, как локально устроено плетение нашей «скатерти», а изучение особых точек (теорема о линеаризации) — какие бывают простейшие узелки и зацепки. Этот раздел математики тесно связан с интегрируемыми системами, алгеброй, дифференциальной геометрией и математической физикой.
«В новых работах удалось получить похожие по глубине результаты — теорему о расщеплении для операторов Нийенхейса — а также сформулировать и в некоторых случаях решить проблему линеаризации. В этих же работах мы продемонстрировали глубокие связи полученных результатов с другими областями математики и математической физики», — заключил Коняев.