Аттракторы представляют собой притягивающие множества динамических систем. С 60-х годов прошлого века они находятся в центре внимания математиков, занимающихся такими системами. Несмотря на то, что большую часть результатов из этой области почти невозможно объяснить простым языком, компьютер позволяет наглядно показать, как устроены эти удивительные множества.
Аттрактор Айдзавы, частный случай аттрактора Лоренца
Chaotic Atmosphere/Behance.net
Аттракторы (от английского to attract, то есть притягивать) — это особые множества, которые возникают в теории динамических систем. Чтобы объяснить, что это такое, потребуется несколько несложных понятий.
TSUCS1 аттрактор
Chaotic Atmosphere/Behance.net
TSUCS2 аттрактор
Chaotic Atmosphere/Behance.net
Аттрактор Анищенко-Астахова
Chaotic Atmosphere/Behance.net
Динамическая система — это не строгое математическое понятие. Обычно под этим термином понимают некоторое геометрическое пространство, на котором задано правило эволюции точек во времени.
Аттрактор Ю-Ванга
Chaotic Atmosphere/Behance.net
Аттрактор Арнеодо
Chaotic Atmosphere/Behance.net
Время может быть дискретным (тогда говорят о дискретных динамических системах) и непрерывным. В последнем случае такого рода системы часто задаются системой дифференциальных уравнений. Об этом и пойдет речь далее.
Аттрактор Ван-Суня
Chaotic Atmosphere/Behance.net
Аттрактор Боуали
Chaotic Atmosphere/Behance.net
Каждая точка пространства с течением времени описывает некоторую траекторию, возможно, очень сложно устроенную. Аттрактором называется множество, которое притягивает траектории движения точек.
Аттрактор Томаса
Chaotic Atmosphere/Behance.net
Аттрактор Берка-Шоу
Chaotic Atmosphere/Behance.net
Слово «притягивает» означает, что с течением времени траектория все ближе и ближе подходит к аттрактору. Более того, если траекторию немного возмутить, то есть «толкнуть» точку динамической системы в сторону, то траектория притягиваться к множеству не перестанет.
Аттрактор Чена
Chaotic Atmosphere/Behance.net
Кстати, множества, от которых траектории отталкиваются, называются репеллерами (от английского to repel, то есть отталкивать).
Аттрактор Хэдли
Chaotic Atmosphere/Behance.net
Аттрактор Чена-Ли
Chaotic Atmosphere/Behance.net
Как может быть устроен аттрактор? Математики знали, что он может быть крайне сложным с точки зрения топологии. Такие аттракторы получили название странных. Иногда даже такое множество может оказаться фракталом.
Аттрактор Чуа
Chaotic Atmosphere/Behance.net
Но до 1960-х годов такие плохо устроенные аттракторы воспринимались как что-то экзотическое и поэтому не заслуживающее серьезного внимания. В частности, считалось, что небольшое возмущение уже всей системы разрушает такую экзотику.
Аттрактор Ресслера
Chaotic Atmosphere/Behance.net
Аттрактор Кулле
Chaotic Atmosphere/Behance.net
Ситуация изменилась, когда Стивен Смейл придумал дискретную динамическую систему, получившую название «подкова Смейла». Оказалось, что, с одной стороны, аттрактор этой системы устроен сложно, а с другой стороны, небольшие колебания уже всей системы аттрактор не ломают.
Спаренный аттрактор Лоренца
Chaotic Atmosphere/Behance.net
Подкова Смейла устроена достаточно просто. Ей соответствует следующий физический процесс. Представьте, что геометрическое пространство — как кусок пластилина.
Аттрактор Дадрас
Chaotic Atmosphere/Behance.net
С каждым моментом времени (ведь система, как уже говорилось раньше, дискретная) кусок пластилина растягивается в два раза и складывается пополам.
Финансовый аттрактор
Chaotic Atmosphere/Behance.net
Все представленные аттракторы представляют собой аттракторы трехмерных динамических систем.
Аттрактор Лю-Чена
Chaotic Atmosphere/Behance.net
Четырехкрылый аттрактор
Chaotic Atmosphere/Behance.net
Для каждого аттрактора, помимо названия, указана система дифференциальных уравнений, задающая соответствующую динамическую систему. Указаны также значения числовых параметров системы, для которых проводились расчеты.
Аттрактор Халворсена
Chaotic Atmosphere/Behance.net
Аттрактор Генезио-Тези
Chaotic Atmosphere/Behance.net
Визуализация выполнена с помощью специальных плагинов для программного обеспечения 4D Cinema.
Классический аттрактор Лоренца
Chaotic Atmosphere/Behance.net
Усеченный по модулю 1 аттрактор Лоренца
Chaotic Atmosphere/Behance.net
На картинках изображены не сами аттракторы, а поверхности, полученные набором (пучком) траекторий, идущих в близости от самого аттрактора.
Усеченный по модулю 2 аттрактор Лоренца
Chaotic Atmosphere/Behance.net
Аттрактор Ньютона-Лейпника
Chaotic Atmosphere/Behance.net
Так как компьютер работает только с конечными траекториями, на картинке возникают «концы» аттракторов, которые не встречаются в действительности.
Аттрактор Нозе-Гувера
Chaotic Atmosphere/Behance.net
С другой стороны, подобный подход придает абстрактным множествам определенную степень реальности. Такого рода объекты вполне можно изготовить из настоящих материалов.
Аттрактор Ци-Чена
Chaotic Atmosphere/Behance.net
Аттрактор Рэлея-Бенарда
Chaotic Atmosphere/Behance.net